Question

（2013•楊浦區一模）設數列{x_n}滿足x_n≠1且（n∈N^*），前n項和為S_n．已知點p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直線y=kx+b上（其中常數b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log

1

2

 xn．
（1）求證：數列{x_n]是等比數列；
（2）若y_n=18-3n，求實數k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得點（t，y_t）和點（s，y_t）都在直線y=2x+1上．問是否存在正整數M，當n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n著手考慮，把點P_n、P_n+1的坐標代入直線y=kx+b，然后兩式相減得x_n+1與x_n的關系式，即可得到結論；（2）由（1）知{x_n}是等比數列，則根據條件消去y_n得x_n與n的關系式，此時與等比數列通項x_n=x₁q^n-1相比較，易得x₁與q，進而可求得k與b．
（3）由{x_n}是等比數列且y_n=log_0.5x_n可得數列{y_n}為等差數列；當n＞M時，x_n＞1恒成立問題應利用y_n=log_0.5x_n轉化為y_n＜0恒成立的問題，列不等式組，解出M，即可得到結論．

解答：（1）證明：∵點P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直線y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
兩式相減得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常數k≠0，且k≠1，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

（非零常數）
∴數列{x_n]是等比數列；
（2）解：由y_n=log_0.5x_n，得x_n=（

1

2

）^y_n=8^n-6，
∴

k

k-1

=8，得k=

8

7

．
又P_n在直線上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S₁-

8

7

x₁=-

1

7

x₁=-

8-5

7

；
（3）解：∵y_n=log_0.5x_n，∴當n＞M時，x_n＞1恒成立等價于y_n＜0恒成立．
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t，∴{y_n}是公差d=-2＜0的等差數列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：數列{y_n}是首項為正，公差為負的等差數列，
所以一定存在一個最小自然數M，使

yM≥0 yM+1＜0

，即

2(s+t)-1+(M-1)•(-2)≥0 2(s+t)-1+M•(-2)＜0

 解得t+s-

1

2

＜M≤t+s+

1

2

．
∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然數M，其最小值為t+s，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立．

點評：本題考查等比數列的證明，考查等差數列，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．