Question

已知一個正三棱錐P-ABC的主視圖如圖所示，若AC=BC=

3

2

，PC=

6

，則此正三棱錐的全面積為

 

．

Answer 1

分析：求正三棱錐的全面積即求三個側面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側面上的側高，由題設條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是

6

，由于頂點在底面上的投影是底面的中心，故此投影到底邊中點的距離是底面三角形高的

1

3

，由于棱錐的高，側高及側高在底面上的投影三者構成了一個直角三角形，故在此直角三角形中可以求出側高，由此正正三棱錐的全面積可求．

解答：解：由題設條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是

6

，
故底面三角形各邊上的高為3×

3

2

=

3 3

2

令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結構特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的

1

3

，為

3

2

故側高為

( 6 )2+( 3 2 )2

=

3 3

2

故此正三棱錐的全面積為3×

1

2

×

3 3

2

× 3+

1

2

×

3 3

2

× 3=

27 3

4

+

9 3

4

=9

3

故答案為：9

3

點評：本題考點是由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側視圖高平齊，側視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規則把三視圖中的數據還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．