Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點相同,F1,F2為C的左右焦點,M為C上任意一點,最大值為1.

（1）求橢圓C的方程;

（2）不過點F2的直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點.

①若,且,求m的值.

②若x軸上任意一點到直線AF2與BF2距離相等,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①,②.

【解析】

（1）根據題意，可求得c=1，b=1，進而求得a，由此得到橢圓方程;

（2）①聯立方程，得到k與m的不等關系，及兩根的關系，表示出弦長AB及點O到直線AB的距離，由此建立等式解出即可;②依題意，k1+k2=0，由此可得到k與m的等量關系，進而求得定點.

解：（1）由拋物線的方程y2=4x得其焦點為(1，0)，則c=1，

當點M為橢圓的短軸端點時，△MF1F2面積最大，此時，則b=1，

∴，故橢圓的方程為;

（2）聯立得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=16k2m2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)=8(2k2﹣m2+1)>0，得1+2k2>m2(*)，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，

①∵m≠0且，代入(*)得，0<m2<2，

，

設點O到直線AB的距離為d，則，

∴，

∴m2=1∈(0，2)，則m=±1;

②，

由題意，k1+k2=0，

∴，即2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0，

∴，

解得m=﹣2k，

∴直線l的方程為y=k(x﹣2)，故直線l恒過定點，該定點坐標為(2，0).