Question

下列說法：
①函數y=log

1

2

(x2-2x-3)的單調增區間是（-∞，1）；
②若函數y=f（x）定義域為R且滿足f（1-x）=f（x+1），則它的圖象關于y軸對稱；
③對于指數函數y=2^x與冪函數y=x²，總存在x₀，當x＞x₀時，有2^x＞x²成立；
④若關于x的方程|x|（x+2）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是(-2，

2

-3)．
其中正確的說法是

③④

．

Answer 1

分析：①中，可判斷所給增區間不是函數定義域的子集，由此可知①錯誤；②中，根據所給等式及對稱定義可判斷②正確；③中，作出兩函數圖象可知其正確；④中，構造函數y=|x|（x+2），化為分段函數，然后作出圖象，利用圖象可得結論；

解答：解：①中，由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
∴y=log

1

2

(x2-2x-3)的定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞），
而所給增區間（-∞，1）不是定義域的子集，故①錯誤；
②中，由f（1-x）=f（1+x），知f（x）的圖象關于x=1對稱，故②錯誤；
③中，作出y=2^x與y=x²的圖象，如圖（右一）所示：存在x₀=4，當x＞4時，有2^x＞x²成立，故③正確；
④中，構造函數y=|x|（x+2），
（1）當x≥0時，y=x（x+2）=（x+1）²-1；（2）當x＜0時，y=-x（x+2）=-（x+1）²+1，對稱軸x=-1，
作出圖象如圖（右二）：
∵方程|x|（x+2）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，即兩個圖象有3個交點，
∴0＜m＜1，
不妨設 x₁＜x₂＜x₃，則x₁+x₂=-2，
當m=1時，x（x+2）=1，得x=-1+

2

，
此時x₃滿足0＜x₃＜

2

-1，
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是(-2，

2

-3)，故④正確．
故答案為：③④

點評：本題考查復合函數單調性、函數的零點、指數函數與冪函數的增長規律及函數圖象的對稱性，考查數形結合思想，考查學生對知識掌握的全面性．