Question

已知函數的定義域為，且的圖象連續不間斷. 若函數滿足：對于給定的（且），存在，使得，則稱具有性質.

（Ⅰ）已知函數，，判斷是否具有性質，并說明理由；

（Ⅱ）已知函數 若具有性質，求的最大值；

（Ⅲ）若函數的定義域為，且的圖象連續不間斷，又滿足，

求證：對任意且，函數具有性質.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）具有該性質,證明見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）創新定義問題,首先要讀懂具有性質P(m)的意思, 對于給定的（且），

存在，使得，按照此定義進行判斷,假設具有該性質, 設，令

,解得,滿足定義,故具有性質P(3);（Ⅱ）m在0到1之間,取一半,看是

否具有性質P(),如果有,再判斷是否有大于的m,沒有的話,最大值就是;（Ⅲ）構造函數

，則,……=

-,相加,有,分里面有零和沒零進行討論,得到結論.

試題解析：（Ⅰ）設，即

令,  則

解得,

所以函數具有性質

（Ⅱ）m的最大值為.

首先當時，取,

則，,

所以函數具有性質,

假設存在，使得函數具有性質, 

則,

當時，，，,

當時，，，,

所以不存在，使得,

故的最大值為.

（Ⅲ）任取,

設，其中,

則有

,

,

……

,

……

,

以上各式相加得：,

當中有一個為時，不妨設為，

即,

則函數具有性質,

當均不為時，由于其和為，則必然存在正數和負數，

不妨設 其中，,

由于是連續的，所以當時，至少存在一個,

（當時，至少存在一個）,

使得，

即,

故函數具有性質.

考點：1.抽象函數的定義;2.創新問題情境;3.構造函數.