Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，已知當x≤0時，f（x）=x²+4x+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）求f（x）在區間[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）設x＞0，則-x＜0，利用當x≤0時，f（x）=x²+4x+3，結合函數為偶函數，即可求得函數解析式；
（2）根據圖象，可得函數的單調遞增區間；
（3）確定函數在區間[-1，2]上的單調性，從而可得函數在區間[-1，2]上的值域．

解答：解：（1）∵函數f（x）是定義在R上的偶函數
∴對任意的x∈R都有f（-x）=f（x）成立
∴當x＞0時，-x＜0
∴f（x）=f（-x）=（-x）²+4（-x）+3=x²-4x+3
∴f(x)=

x2-4x+3，x＞0 x2+4x+3，x≤0

（2）圖形如右圖所示，函數f（x）的單調遞增區間為[-2，0]和[2，+∞）．（寫成開區間也可以）
（3）由圖象可知，函數在[-1，0]，[2，3]上為增函數；在[0，2]上為減函數，所以函數的值域為（[-1，3]．

點評：本題考查函數的解析式，考查函數的單調性與值域，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．