Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列對應值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據表格提供的數據求函數f（x）的一個解析式．
（2）根據（1）的結果，若函數y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，當x∈[0，

π

3

]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據表格提供的數據，求出周期T，解出ω，利用最小值、最大值求出A、B，結合周期求出φ，可求函數f（x）的一個解析式．
（2）函數y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，求出k，x∈[0，

π

3

]，推出3x-

π

3

的范圍，畫出圖象，數形結合容易求出m的范圍．

解答：解：（1）設f（x）的最小正周期為T，得T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，
由T=

2π

ω

，得ω=1，
又

B+A=3 B-A=-1

，解得

A=2 B=1

令ω•

5π

6

+φ=

π

2

，即

5π

6

+φ=

π

2

，解得φ=-

π

3

，
∴f(x)=2sin(x-

π

3

)+1．
（2）∵函數y=f(kx)=2sin(kx-

π

3

)+1的周期為

2π

3

，
又k＞0，∴k=3，
令t=3x-

π

3

，∵x∈[0，

π

3

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]，
如圖，sint=s在[-

π

3

，

2π

3

]上有兩個不同的解，則s∈[

3

2

，1)，
∴方程f（kx）=m在x∈[0，

π

3

]時恰好有兩個不同的解，則m∈[

3

+1，3)，
即實數m的取值范圍是[

3

+1，3)．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數的周期性及其求法，考查作圖能力，是基礎題．