Question

如圖，在圓錐中，已知，⊙O的直徑，是的中點，為的中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）根據題意，由于平面，則可以根據面面垂直的判定定理來得到。
（2）

試題分析：解法1：（1）連結，因為，是中點，所以
又底面⊙O，底面⊙O，所以，                      2分
因為是平面內的兩條相交直線，所以平面           4分
而平面，所以平面平面.                          6分

（2）在平面中，過作于，
由（1）知，平面平面平面=
所以平面，又面，所以
在平面中，過作于，連接，
平面，
從而，故為二面角的平面角                   9分
在
在
在
在
所以                    13分
故二面角的余弦值為                                  14分
解法2：如圖所示，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，則

，
                         2分
（1）設是平面的一個法向量，
則由，得
所以，取得                               4分
設是平面的一個法向量，
則由，得
所以，取，得              6分
因為，所以
從而平面平面                                           8分
（2）因為軸平面，所以平面的一個法向量為
由（1）知，平面的一個法向量為
設向量和的夾角為，則                 13分
所以二面角的余弦值為                                 14分
點評：主要是考查了面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求解，屬于基礎題。