Question

設

a

，

b

，

c

是任意的非零向量，且相互不共線，下列命題：
（1）(

a

•

b

)

c

-(

c

•

a

)

b

=

0

，
（2）|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|，
（3）(

b

•

c

)

a

-(

a

•

c

)

b

不與

c

垂直，
（4）(3

a

+4

b

)•(3

a

-4

b

)=9|

a

|2-16|

b

|2．
其中正確的命題有（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）（4）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：由題意

a

，

b

，

c

是任意的非零向量，且相互不共線，（1）中研究向量的數量積與數乘運算，由運算規則判斷；
（2）中研究向量差的模與模的差的關系，由其幾何意義判斷；（3）中研究向量的垂直關系，可由數量積為0驗證；（4）中是數量積的運算規則考查，由數量積運算規則判斷．

解答：解：由題意（1）是一個錯誤命題，因為(

a

•

b

)

c

與

c

共線，(

c

•

a

)

b

與

b

共線，由題設條件

b

，

c

是任意的非零向量，且相互不共線知，(

a

•

b

)

c

-(

c

•

a

)

b

=

0

不成立；
（2）是一個正確命題，由向量的減法法則知，兩向量差的模一定小兩向量模的差；
（3）是個錯誤命題，因為[(

b

•

c

)

a

-(

a

•

c

)

b

]•

c

=(

b

•

c

)(

a

•

c

)-(

a

•

c

)(

b

•

c

)=0，故(

b

•

c

)

a

-(

a

•

c

)

b

與

c

垂直，所以此命題不正確；
（4）是一個正確命題因為(3

a

+4

b

)•(3

a

-4

b

)=9|

a

|2-16|

b

|2是正確的；
綜上知（2）（4）是正確命題
故選D

點評：本題考查數量積的運算，數乘向量的運算，解題的關鍵是理解向量數量積運算及其幾何意義，理解數量積為0對應的幾何意義是兩向量垂直，本題的難點是對數量積運算的理解及相應的幾何意義