Question

求函數(shù)的值域：y=

2x2-x+2

x2+x+1

．

Answer 1

分析：由于對任意一個(gè)實(shí)數(shù)y，它在函數(shù)f（x）的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有實(shí)數(shù)解，因此“求f（x）的值域．”這一問題可轉(zhuǎn)化為“已知關(guān)于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有實(shí)數(shù)解，求y的取值范圍”．

解答：解：判別式法：∵x²+x+1＞0恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)镽．
由y=

2x2-x+2

x2+x+1

得：（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0①
①當(dāng)y-2=0即y=2時(shí)，①即3x+0=0，∴x=0∈R
②當(dāng)y-2≠0即y≠2時(shí)，
∵x∈R時(shí)方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0恒有實(shí)根，
∴△=（y+1）²-4×（y-2）²≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇1，5]．

點(diǎn)評(píng)：判別式法：把x作為未知量，y看作常量，將原式化成關(guān)于x的一元二次方程形式，令這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，然后對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零加以討論：
（1）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，將對應(yīng)的y值代入方程中進(jìn)行檢驗(yàn)以判斷y的這個(gè)取值是否符合x有實(shí)數(shù)解的要求．
（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此時(shí)直接用判別式法是否有可能產(chǎn)生增根，關(guān)鍵在于對這個(gè)方程去分母這一步是不是同解變形．