Question

（本小題滿分10分）
已知函數f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實數a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恒成立,求實數m的取值范圍.

Answer 1

(1) a=2   (2) (-∞,5).

解析試題分析：解法一:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)當a=2時,f(x)=|x-2|.設g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以當x<-3時,g(x)>5;當-3≤x≤2時,g(x)=5;當x>2時,g(x)>5.
綜上可得,g(x)的最小值為5.
從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對一切實數x恒成立,
則m的取值范圍為(-∞,5］.
解法二:(1)同解法一.
(2)當a=2時,f(x)=|x-2|,設g(x)=f(x)+f(x+5).
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(當且僅當-3≤x≤2時等號成立)得,g(x)的最小值為5.
從而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m對一切實數x恒成立,
則m的取值范圍為(-∞,5).
考點：絕對值不等式的解法；函數恒成立問題．
點評:本題考查函數恒成立問題，絕對值不等式的解法，考查轉化思想，是中檔題.