Question

【題目】已知ω為正整數，函數f（x）=sinωxcosωx+ 在區間 內單調遞增，則函數f（x）（ ）
A.最小值為 ，其圖象關于點 對稱
B.最大值為 ，其圖象關于直線 對稱
C.最小正周期為2π，其圖象關于點 對稱
D.最小正周期為π，其圖象關于直線 對稱

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ ﹣ = sin（2ωx+ ），

又∵f（x）在在區間 內單調遞增，

∴由﹣ ≤2×（﹣ ）ω+ ，2× ω+ ≤ ，解得：ω≤ ，ω≤ ，

∴由ω為正整數，可得ω=1，f（x）= sin（2x+ ），

∴f（x）的最大值為 ，最小正周期為π，故A，C選項錯誤；

∵令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈z，可得當k=﹣1時，f（x）關于直線x=﹣ 對稱．

∴B選項錯誤，D選項正確．

故選：D．

【考點精析】掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換是解答本題的根本，需要知道圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．