Question

已知函數f(x)=2x2+2x+a(-2≤x≤2)
（1）寫出函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）的最大值為64，求f（x）最小值．

Answer 1

分析：（1）令t=x²+2x+a，本題即求函數t在[-2，2]上的單調區間，利用二次函數的性質可得函數t的減區間和增區間．
（2）根據-2≤x≤2，求得t=（x+1）²+a-1的范圍，再根據f（x）的最大值為64=2^a+8，求得 a的值，可得f（x）的最小值．

解答：解：（1）令t=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，∵-2≤x≤2，
再根據f（x）=2^t，故本題即求函數t在[-2，2]上的單調區間．
結合二次函數的性質可得函數t的減區間為[-2，-1]，增區間為 （-1 2]．
（2）∵-2≤x≤2，t=（x+1）²+a-1，
∴x=-1時，t取得最小值為a-1，
當x=2時，函數t取得最大值為a+8．
再根據f（x）的最大值為64=2^a+8，求得 a=-2，
故f（x）的最小值為2^a-1=2^-3=

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8

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點評：本題主要考查復合函數的單調性和值域，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．