Question

盒內有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球．規定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得-1分．現從盒內任取3個球．
（Ⅰ）求取出的3個球顏色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；
（Ⅲ）設ξ為取出的3個球中白色球的個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件為從9個球中任取3個球有C₉³種結果，而滿足條件取出的3個球顏色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹種結果，根據古典概型公式得到結果．
（2）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件為從9個球中任取3個球有C₉³種結果，而滿足條件取出的3個球得分之和恰為1分有兩種結果，包括取出1個紅色球，2個白色球和取出2個紅色球，1個黑色球，它們之間是互斥事件，
（3）ξ為取出的3個球中白色球的個數，由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3．根據古典概型公式和試驗包含的結果，得到白球個數不同是對應的概率，寫出分布列，做出期望．

解答：（Ⅰ）解：由題意知本題是一個古典概型，
∵試驗發生包含的所有事件為從9個球中任取3個球有C₉³種結果，
而滿足條件取出的3個球顏色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹種結果，
記“取出1個紅色球，1個白色球，1個黑色球”為事件A，
∴由古典概型公式得到P(A)=

C 1 2 C 1 3 C 1 4

C 3 9

=

2

7

．

（Ⅱ）解：由題意知本題是一個古典概型，
∵試驗發生包含的所有事件為從9個球中任取3個球有C₉³種結果，
而滿足條件取出的3個球得分之和恰為1分有兩種種結果，
包括取出1個紅色球，2個白色球和取出2個紅色球，1個黑色球
記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，有C₂¹C₃²種結果．
“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，有C₂²C₄¹種結果，
其中它們之間是互斥事件，
∴P(B+C)=P(B)+P(C)=

C 1 2 C 2 3

C 3 9

+

C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

5

42

．

（Ⅲ）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

，P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

45

84

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，P(ξ=3)=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

．
ξ的分布列為：

ξ的數學期望Eξ=0×

5

21

+1×

45

84

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

點評：期望表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應數值的算術平均數．解完此例題后歸納求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否．③求出期望．