Question

定義：已知函數f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內的任意實數均滿足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-

1

x

．
（1）試探求f（x）與g（x）是否存在“左同旁切線”，若存在，請求出左同旁切線方程；若不存在，請說明理由．
（2）設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函數f（x）圖象上任意兩點，0＜x₁＜x₂，且存在實數x₃＞0，使得f（x₃）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，證明：x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由題意知f（x）與g（x）有公共點，確定在公共點處的切線方程為y=x-1，再證y=x-1就是左同旁切線方程，即證1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）；
（2）利用反證法進行證明，令x₃≤x₁，則x3=

x2-x1

ln x2 x1

≤x1，從而可得x2-x1≤x1ln

x2

x1

＜x1(

x2

x1

-1)=x2-x1，由此得證．

解答：解：（1）由題意知f（x）與g（x）有公共點，令其為（x₀，y₀），則f（x₀）=f（x₀），f'（x₀）=g'（x₀），即

1 x0 = 1 x 2 0 lnx0=1- 1 x 2 0

，解得x₀=1，y₀=1．
所以在公共點處的切線方程為y=x-1．
下證y=x-1就是左同旁切線方程，即證1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）．
先構造函數h（x）=lnx-x+1（x＞0），則h'（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函數在x=1處h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再構造函數φ（x）=lnx-1+

1

x

（x＞0），則φ′（x）=

x-1

x2

，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1處φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+

1

x

≥0，即lnx≥1-

1

x

（x＞0）．
故對任意x∈（0，+∞），恒有1-

1

x

≤lnx≤x-1（x＞0）成立，即y=x-1就是左同旁切線方程．（6分）
（2）因為f′（x）=

1

x

，所以f′（x₃）=

1

x3

=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，所以x3=

x2-x1

ln x2 x1

．
令x₃≤x₁，則x3=

x2-x1

ln x2 x1

≤x1，
∴x2-x1≤x1ln

x2

x1

＜x1(

x2

x1

-1)=x2-x1，
顯然自相矛盾，故x₁＜x₃；同理可證x₃＜x₂．
故x₁＜x₃＜x₂．（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查新定義，考查函數的最值，正確理解新定義是關鍵．