Question

定義：已知函數f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質．已知f（x）=ax²-|x|+2a-1
（1）若a=1，判斷函數f（x）在[1，2]上是否具有“DK”性質，說明理由．
（2）若f（x）在[1，2]上具有“DK”性質，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出斷函數f（x）在[1，2]上的最小值，利用定義，可以判斷；
（2）對a進行討論，確定函數在[1，2]上的單調性，求出最小值，即可求得結論．

解答：解：（1）∵a=1，x∈[1，2]
∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1

，x∈[1，2]

，
∴f（x）_min=1≤1，
∴函數f（x）在[1，2]上具有“DK”性質．…（4分）
（2）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1…（5分）
①若a=0，則f（x）=-x-1在區間[1，2]上是減函數，f（x）_min=f（2）=-3≤1
滿足函數f（x）具有“DK”性質，∴a=0…（6分）
②若a≠0，則f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，函數的對稱軸為直線x=

1

2a

當a＜0時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1
滿足函數f（x）具有“DK”性質，∴a＜0…（7分）
當0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，f（x）在區間[1，2]上是增函數f（x）_min=f（1）=3a-2，
若函數f（x）具有“DK”性質，則3a-2≤1
∴

1

2

＜a≤1…（8分）
當1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
若函數f（x）具有“DK”性質，則2a-

1

4a

-1≤1得

2- 6

4

≤a≤

2+ 6

4

∴

1

4

≤a≤

1

2

…（9分）
當

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1，滿足函數f（x）具有“DK”性質，∴0＜a＜

1

4

…（10分）
綜上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性質，則a的取值范圍為（-∞，1]．…（12分）

點評：本題考查新定義，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．