Question

已知A、D分別為橢圓E： 的左頂點與上頂點，橢圓的離心率，F_1­、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且的最大值為1 ．

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OAOB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由；

（3）設直線l與圓相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B；（3）1.

【解析】本試題主要是考查了橢圓的 方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用并結合了直線與圓的位置關系來考查線段長度的最值問題的運用。

（1）設P (x，y)，F₁ (–c，0)，F₂（c，0），其中

則

看作線段AD上的點P (x，y)到原點距離的平方，

∴P在A點，x² + y²最大，∴a² – c² = 1，

又．………………4分

（2）由（1）知橢圓方程為，

①設圓心在原點的圓的一條切線為y = kx + t，．

解方程組……………5分

要使切線與橢圓恒有兩個交點A， B，則使

即，………………………………6分

要使

所以5t² – 4k² – 4 = 0，即5t² = 4k² + 4且t²＜4k² + 1，即4k² + 4＜20k² + 5恒成立．

又因為直線y = kx + t為圓心在原點的圓的一條切線，

所以圓的半徑為r =……………7分

②當切線的斜率不存在時，切線為滿足．

綜上，存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．                        ……………………8分

（3）設直線l的方程為y = mx + n，因為直線l與圓C：x² + y² = R² (1＜R＜2)相切于A₁，

由（2）知  ①，    因為l與橢圓只有一個公共點B₁，由（2）知有唯一解，

則即4m² – n² + 1 = 0，   ②

由①②得此時A，B重合為B₁ (x₁，y₁)點，由x₁ = x₂，所以B₁ (x₁，y₁)點在橢圓上，所以

，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|² = |OB₁|² – |OA₁|² =

5

因為時取等號，所以

即當時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．………………………………13分