Question

【題目】設(shè)函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）若，且曲線的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求該切線的方程；

（Ⅱ）討論的零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點

【解析】試題分析：（Ⅰ）將代入后對函數(shù)求導(dǎo)，求出此時的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，可得切線方程；　（Ⅱ）函數(shù)求導(dǎo)后可得，對按進行討論，判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求出極值可得零點個數(shù)．

試題解析：（Ⅰ），

經(jīng)過切點的切線方程為

由，得，所求切線為

（Ⅱ），當(dāng)時，由得

⑴時，若，則；若，則。函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，的最小值為

①時，，無零點

②時，，只有一個零點

③時，，根據(jù)與函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間和各有一個零點，共有兩個零點

⑵時，，無零點

⑶時，由得，，由函數(shù)圖象知，曲線與只有一個交點，所以只有一個零點。

綜上所述，時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點