Question

定義在區間上的函數的圖象關于直線對稱，當時函數圖象如圖所示.

（Ⅰ）求函數在的表達式；
（Ⅱ）求方程的解；
（Ⅲ）是否存在常數的值，使得在上恒成立；若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由函數的圖像可分兩段求解：當，；當，.注意運用圖像的對稱性.故；（Ⅱ）結合（Ⅰ）中的解析式，分兩種情況求出三角方程的解即可；（Ⅲ）先假設存在，然后找出使得在上恒成立的條件，由圖像可得.
試題解析：（Ⅰ），     
且過，∵ ∴
當時     3分
而函數的圖象關于直線對稱，則即，              
              5分
（Ⅱ）當時，    
∴ 即
當時， ∴
∴方程的解集是       8分
（Ⅲ）存在. 假設存在,由條件得：在上恒成立
即，由圖象可得： ∴      12分