Question

【題目】設定義在上的函數,函數,當時,取得極大值,且函數

的圖象關于點對稱.

（1）求函數的表達式；

（2）求證：當時, 為自然對數的底數）；

（3）若,數列中是否存在？若存在,求出所有相等的兩項,若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，

【解析】

試題分析：（1）函數的圖象關于點對稱，則函數的圖象關于點對稱,即函數是奇函數.再結合當時,取得極大值，導數為零，可求得；（2）由（1）知當時不等式即為：，等價于，構造函數，利用導數證明函數在上是減函數，故有時,成立, 用代換得：時,成立；（3）依題意，利用特殊項可知，利用商比較法證明的單調性，由此求得是唯一結果.

試題解析：

（1）將函數的圖象向右平移一個單位,得到函數的圖象,函數的圖象關于點對稱,即函數是奇函數,,

由題意得：,所以,經檢驗滿足題意.

（2）由（1）知當時不等式即為：,構造函數,

則,所以函數在上是減函數, 因而時,,即：時,成立,用代換得：時,成立,所以時,成立.

（3）,則由（2）知：,

令,得：,結合得：,因此,當時,有,所以當時,,即：,又通過比較的大小知：,因為,且時,所以若數列中存在相等的兩項,只能是、與后面的項可能相等,又,所以數列中存在唯一相等的兩項,即：.