Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若存在與函數的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數取得極小值為，無極大值；（2）

【解析】試題分析：（1）對函數求導研究單調性，進而得到極值；（2）問題轉化為有解求參數的范圍，對函數求導研究函數的單調性，進而得到函數的圖像，從而得到參數范圍.

解析：

（1）函數的定義域為

當時，，

所以

所以當時，，當時，，

所以函數在區間單調遞減，在區間單調遞增，

所以當時，函數取得極小值為，無極大值；

（2）設函數上點與函數上點處切線相同，

則

所以

所以，代入得：

設，則

不妨設則當時，，當時，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

代入可得：

設，則對恒成立，

所以在區間上單調遞增，又

所以當時，即當時,

又當時

因此當時，函數必有零點；即當時，必存在使得成立；

即存在使得函數上點與函數上點處切線相同．

又由得：

所以單調遞減，因此

所以實數的取值范圍是．