Question

某企業準備投資1200萬元興辦一所中學，對當地教育市場進行調查后，得到了如下的數據表格（以班級為單位）：

學段	硬件建設（萬元）	配備教師數	教師年薪（萬元）
初中	26/班	2/班	2/人
高中	54/班	3/班	2/人

因生源和環境等因素，辦學規模以20到30個班為宜．
（I）請用數學關系式表示上述的限制條件；（設開設初中班x個，高中班y個）
（II）若每開設一個初、高中班，可分別獲得年利潤2萬元、3萬元，請你合理規劃辦學規模使年利潤最大，最大為多少？

Answer 1

（I）設開設初中班x個，高中班y個，根據題意，線性約束條件為…（1分） 
   

20≤x+y≤30 x+2y≤40 x≥0，x∈N* y≥0，y∈N*

…（5分）
（II）設年利潤為z萬元，則目標函數為z=2x+3y…（6分）
由（I）作出可行域如圖．…（9分）
由方程組

x+y=30 x+2y=40

得交點M（20，10）…（11分）
作直線l：2x+3y=0，平移l，當l過點M（20，10），z取最大值70．…（13分）
∴開設20個初中班，10個高中班時，年利潤最大，最大利潤為70萬元．…（14分）