Question

在△ABC中，周長(zhǎng)為7.5cm，且sinA：sinB：sinC=4：5：6，下列結(jié)論：
①a：b：c=4：5：6
②a：b：c=2：

5

：

6

③a=2cm，b=2.5cm，c=3cm
④A：B：C=4：5：6
其中成立的個(gè)數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理和余弦定理分別進(jìn)行判斷即可．

解答：解：∵sinA：sinB：sinC=4：5：6，
∴根據(jù)正弦定理可知邊a：b：c=4：5：6，
設(shè)a=4x，x＞0，則y=5x，z=6x．
又三角形的周長(zhǎng)為7.5，
∴a+b+c=4x+5x+6x=15x=7.5，
解得x=0.5，
∴a=4x=2，y=5x=2.5，z=6x=3．
∴①正確，②錯(cuò)誤，③正確．
若A：B：C=4：5：6成立，則A=48°，B=60°，C=72°，
此時(shí)cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

16x2+36x2-25x2

2×4x•6x

=

9

16

≠

1

2

，
∴A：B：C=4：5：6不成立．
故成立的是①③．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，要求熟練掌握正弦定理和余弦定理的內(nèi)容及應(yīng)用．