Question

設數列{an}的前n項和為Sn，數列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求數列{an}的通項公式．

 

Answer 1

（1）a1＝1.（2）an＝3·2n－1－2

【解析】(1)當n＝1時，T1＝2S1－12.因為T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.

(2)當n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－

(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①

所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②

②－①得an＋1＝2an＋2.

所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)． (*)

當n＝1時，a1＋2＝3，a2＋2＝6，則＝2.

所以，當n＝1時，適合(*)式，所以{an＋2}是以3為首項，2為公比的等比數列．

則an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.