Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=2AB，且點P為DD₁的中點．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PB₁A⊥平面PAC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結BD交AC于點O，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，可知四邊形ABCD是正方形，所以O是BD的中點，又點P是DD₁的中點，進而可知PO∥BD₁，利用線面平行的判定定理推斷出直線BD₁∥平面PAC；      
（2）連結B₁O，設AA₁=2AB=2a，在三角形PB₁O中，分別求得B₁P²，B₁O²，PO²，進而可知PO²+B₁P²=B₁O²，即PB₁⊥PO，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，推斷出AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，進而根據線面垂直的性質知AC⊥BB₁，推斷出AC⊥平面BD₁D，可知B₁P⊥AC，利用線面垂直的判定定理推斷出B₁P⊥平面PAC，最后根據面面垂直的判定定理推斷出平面PB₁A⊥平面PAC．

解答： 證明：（1）連結BD交AC于點O，
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，
所以四邊形ABCD是正方形，所以E是BD的中點，
又點P是DD₁的中點，
所以PO∥BD₁，
而BD₁?平面PAC，PO?平面PAC，
所以直線BD₁∥平面PAC；      
（2）連結B₁O，設AA₁=2AB=2a，
在三角形PB₁O中，B₁P₂=3a²，B₁O²=

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a²，
所以PO²+B₁P²=B₁O²，
所以PB₁⊥PO，
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，
而AC?平面ABCD，所以AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，所以AC⊥平面BD₁D，
因B₁P?平面BD₁D，所以B₁P⊥AC，
又PO∩AC=O，
所以B₁P⊥平面PAC，
又PB₁?PB₁A，
所以平面PB₁A⊥平面PAC．

點評：本題主要考查了面面垂直的判定定理的應用，線面平行的判定定理的應用．要求學生能對基礎的定理能熟練記憶．