Question

二次函數f（x）=ax²+bx+c圖象頂點為C且過點A（0，2）、B（2，2），又△ABC的面積等于1．
（1）求滿足條件的函數f（x）的解析式；
（2）當時a＞0，求函數g(x)=f(x)ex-

e

3

x3的極值；
（3）正項數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），且a₁=3，設T_n=a₁a₂a₃…a_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先假設出函數f（x）的解析式，然后根據三角形的面積公式算出三角形的高求出點C的坐標代入可確定函數f（x）的解析式．
（2）將函數f（x）的解析式代入表示出函數g（x）的解析式，然后對函數g（x）進行求導，最后根據導函數的正負判斷函數的單調性求出極值點．
（3）先通過驗證數列前兩項判斷f（x）的解析式只能是f（x）=x²-2x+2，然后找到a_n+1與a_n的關系式a_n+1-1=（a_n-1）²，兩邊取對數后構成新的等比數列，進而可求出答案．

解答：解：
（1）依題意設f（x）=ax（x-2）+2，由S=

1

2

×2×h=1（h為AB邊上的高）．
∴h=1，f（1）=1或3，∴a=±1
∴f（x）=x²-2x+2或f（x）=-x²+2x+2（或討論a＞0與a＜0）．
或依題意c=2，4a+2b+c=2，∴b=-2a，

4ac-b2

4a

=1或3，其它同上

（2）當時a＞0，f（x）=x²-2x+2，∴g(x)=(x2-2x+2)ex-

e

3

x3，
∴g′（x）=x²e^x-ex²=x²（e^x-e），令g′（x）=0，得x=0，或x=1

∴x=0不是極值點，x=1是極值，
∴函數g（x）的極小值為g（1）=

1

2

e，極大值不存在．

（3）對于f（x）=-x²+2x+2，由a_n+1=f（a_n）及a₁=3，得a₂=-1，不符合題意，舍去，
只能f（x）=x²-2x+2，
∴a_n+1=a_n²-2a_n+2，a_n+1-a_n=a_n²-3a_n+2=a_n（a_n-3）+2＞0對a_n≥3恒成立，
a_n+1＞a_n＞…＞a₁=3
又a_n+1-1=（a_n-1）²，
∴lg（a_n+1-1）=2lg（a_n-1），l個（a₁-1）=lg2≠0
∴數列{lg（a_n-1）}首項為lg2，公比為2的等比數列，
∴lg（a_n-1）=2^n-1lg（a₁-1）
∴a_n=1+2^2n-1
∴a₁a₂a₃…a_n=（1+2）（1+2²）  …（1+2^2n-1）
=-（1-2）（1+2）（1+2²）…2^2n-1=2²ⁿ-1

為所求．
或=（1+2）（1+2²）  …（1+2^2n-1）=2²ⁿ-1

點評：本題主要考查用待定系數法求函數解析式和函數單調性、極值與導函數的關系以及等比數列求和的問題．一些數列并不是等比或等差數列，在求和時必須通過轉化變為等比或等差再求．