Question

（本小題滿分13分）如圖，已知三棱柱的所有棱長都相等，且側棱垂直于底面，由沿棱柱側面經過棱到點的最短路線長為,設這條最短路線與的交點為．

（1）求三棱柱的體積；
(2)在面內是否存在過的直線與面平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面⊥平面．

Answer 1

平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行．

解：(1)如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°，
使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到
點B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點B沿
棱柱側面經過棱CC₁到點A₁的最短路線．
設棱柱的棱長為，則B₂C=AC=AA₁＝,
∵CD∥AA_1　，∴為的中點．                              ………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，
即　，解得，∵，
∴．                                  ………5分
(2)設A₁B與AB₁的交點為O,連結BB₂,OD，則．
∵平面，平面，   ∴平面，
即在平面A₁BD內存在過點D的直線與平面ABC平行．               ………9分
(3)連結AD,B₁D∵≌≌≌，
∴，  ∴．
∵ ，，  
∴平面A₁ABB₁，又∵平面A₁BD． 
∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．                                 ………13分