Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比、比例系數為b；固定部分為a元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）全程運輸成本有兩部分組成，將其分別分別表示出來依題意建立起程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，由題設條件速度不得超過c千米/時．故定義域為v∈（0，c]．
（2）由（1）知，全程運輸成本關于速度的函數表達式中出現了積為定值的情形，由于等號成立的條件有可能不成立，故求最值的方法不確定，對對速度的范圍進行分類討論，如等號成立時速度值不超過c，則可以用基本不等式求求出全程運輸成本的最小值，若等號成立時速度值大于最高限速v，可以判斷出函數在（0，c]上的單調性，用單調性求出全程運輸成本的最小值．

解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

s

v

，全程運輸成本為y=a•

S

v

+bv2•

S

v

=S(

a

v

+bv)
故所求函數及其定義域為y=S(

a

v

+bv)，v∈(0，c]
（2）依題意知S，a，b，v都為正數，故有S(

a

v

+bv)≥2S

ab

當且僅當

a

v

=bv，．即v=

a b

時上式中等號成立
若

a b

≤c，則當v=

a b

時，全程運輸成本y最小，
若

a b

＞c，即a＞bc²，則當v∈（0，c]時，有S(

a

v

+bv)-S(

a

c

+bc)=S[(

a

v

-

a

c

)+(bv-bc)]
=

S

vc

(c-v)(a-bcv)
因為c-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0，
所以S(

a

v

+bv)≥S(

a

c

+bc)，且僅當v=c時等號成立，
也即當v=c時，全程運輸成本y最小．
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當

ab

b

≤c時行駛速度應為v=

ab

b

；當

ab

b

＞c時行駛速度應為v=c．

點評：本小題主要考查建立函數關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識，考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解決實際問題的能力．