Question

仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式2^1-x+a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍．
解：令f（x）=2^1-x+a，因為f（x）＞0在A上有解．

⇒f(x)在A上的最大值大于0， 又∵f(x)在[0，1]上單調遞減

⇒f(x)最大值=f(0)
=2+a＞0⇒a＞-2
學習以上問題的解法，解決下面的問題，已知：函數f（x）=x²+2x+3（-2≤x≤-1）．
①求f（x）的反函數f^-1（x）及反函數的定義域A；
②設B={x|lg

10-x

10+x

＞lg(2x+a-5)}，若A∩B≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：①先根據函數的單調性得到反函數的定義域；再求出x=-1-

y-2

即可得到函數f（x）的反函數；
②先根據條件把問題轉化為不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解；再根據函數的單調性求出h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上的最大值，即可得到結論．

解答：解：①（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上單調遞減
∴f（x）∈[2，3]
故反函數的定義域A=[2，3]（2分）
令x+1=-

y-2

，得x=-1-

y-2

，
∴f^-1（x）═-1-

y-2

，x∈[2，3]（4分）
②由A∩B≠Φ，得出不等式

10-x

10+x

＞2^x+a-5在集合A上有解；
亦即不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解（10分）
令函數h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，⇒a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5=

20

10+x

-2^x+4，在區間A上單調遞減
h（x）_max=g（2）=

5

3

⇒a＜

5

3

⇒實數a的取值范圍為（-∞，

5

3

） （12分）

點評：本題主要考查函數的單調性的應用以及反函數的求法．是對函數知識的綜合考查，屬于中檔題目，考查計算能力以及分析問題的能力