Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

為定值，并求這個(gè)定值．

Answer 1

（Ⅰ）依題意得

a2-b2 =1 1 2 ab= 5

…（3分）
解得

a2=5 b2=4

，故橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為x=ky+4…（6分）
由

x=ky+4 4x2+5y2=20

，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），則

y1+y2= -32k 4k2+5 y1y2= 44 4k2+5

…（8分）
又由直線l的方程x=ky+4知y3=-

4

k

由三角形的相似比得

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

=

|y3|

|y1|

+

|y3|

|y2|

=

|y3|(|y1|+|y2|)

|y1y2|

注意到y(tǒng)₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

=

|y3|×|y1+y2|

|y1y2|

=

4

|k|

×

32|k| 4k2+5

44 4k2+5

=

32

11

故

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

為定值

32

11

．…（12分）