Question

20、已知各項均為實數的數列{a_n}是公差為d的等差數列，它的前n項和為S_n，且滿足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若數列{a_n}的首項的平方與其余各項之和不超過10，則這樣的數列至多有多少項；
（3）請直接寫出滿足（2）的項數最多時的一個數列（不需要給出演算步驟）．

Answer 1

分析：（1）根據S₄=2S₂+8，利用等差數列的前n項和的公式列出方程，求出公差d即可；
（2）根據a₁大于0，小于0，等于0分三種情況，利用公差d=2及枚舉法分別得到數列至多有多少項即可；
（3）根據（2）總結的項數最多時的結論，給a₁一個實數值，即可到底滿足條件的一個數列．

解答：解：（1）根據題意可知：4a₁-6d=2（2a₁-d）+8，解得d=2；
（2）考慮到d=2，且首項的平方與其余各項之和不超過10，所以可用枚舉法研究．
①當a₁=0時，0²+d+2d=0+2+4≤10，而0²+d+2d+3d=0+2+4+6＞10，此時，數列至多3項；
②當a₁＞0時，可得數列至多3項；
③當a₁＜0時，a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d≤10，即a₁²+3a₁+2≤0，△=1＞0，此時a₁有解．
而a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d≤10，即a₁²+4a₁+10≤0，△=-24＜0，此時a₁無解．
所以a₁＜0時，數列至多有4項．
（3）a₁=-1時，數列為：-1，1，3，5；或a₁=-2時，數列為：-2，0，2，4．

點評：考查學生掌握等差數列的通項公式及前n項和的公式，會利用枚舉法解決實際問題．