Question

若橢圓的對稱軸在坐標軸，兩焦點與兩短軸的端點恰好是正方形的四個頂點，且焦點到同側長軸端點距離為

2

-1．
（1）求橢圓方程；
（2）求橢圓離心率．

Answer 1

分析：（1）由題意推出橢圓的關系，b=c，利用焦點到同側長軸端點距離為

2

-1，
（2）通過橢圓方程，求出橢圓的離心率．

解答：解：（1）因為橢圓的對稱軸在坐標軸，兩焦點與兩短軸的端點恰好是正方形的四個頂點，
所以b=c，a=

2

b，又焦點到同側長軸端點距離為

2

-1，
即a-c=

2

-1，即a-b=

2

-1，解得a=

2

，b=c=1，
所以當焦點在x軸時，橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1；
當焦點在y軸時，橢圓的方程為

y2

2

+x2=1．
（2）由（1）可知a=

2

，b=c=1，所以橢圓的離心率為：

c

a

=

2

2

．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的基本性質，離心率的求法，考查計算能力．