Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程. 并求出當時，其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2）當時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動點的存在情況和個數.

Answer 1

（1）（2）（3）兩個

解析:

（1）設橢圓的標準方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標準方程為.

且橢圓兩個焦點的坐標分別為和.

對于變換：，當時，可得

設和分別是由和的坐標由變換公式變換得到.于是，，即的坐標為；

又即的坐標為.

（2）設是橢圓在變換下的不動點，則當時，[來源:Z§xx§k.Com]

有，由點，即，得：

，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.

(3) 設是雙曲線在變換下的不動點，則由

因為，，故.

不妨設雙曲線方程為（），由代入得

則有,

因為，故當時，方程無解；

當時，要使不動點存在，則需，

因為，故當時，雙曲線在變換下一定有2個不動點，否則不存在不動點.

進一步分類可知：

（i）當，時，即雙曲線的焦點在軸上時，

；

此時雙曲線在變換下一定有2個不動點；

（ii）當，時，即雙曲線的焦點在軸上時，

.[來源:學科網]

此時雙曲線在變換下一定有2個不動點.