Question

【題目】AC為對稱軸的拋物線的一部分，點B到邊AC的距離為2km，另外兩邊AC，BC的長度分別為8km，2 km．現欲在此地塊內建一形狀為直角梯形DECF的科技園區．

（1）求此曲邊三角形地塊的面積；
（2）求科技園區面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AC所在的直線為y軸，A為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示；

則A（0，0），C（0，8），

設曲邊AB所在的拋物線方程為y=ax2（a＞0），

則點B（2，4a），

又|BC|= =2 ，

解得a=1或a=3（此時4a=12＞8，不合題意，舍去）；

∴拋物線方程為y=x2，x∈[0，2]；

又 x2= x3 = ，

∴此曲邊三角形ABC地塊的面積為

S梯形ACBM﹣ x2= ×（8+4）×2﹣ = ；

（2）解：設點D（x，x2），則F（0，x2），

直線BC的方程為：2x+y﹣8=0，

∴E（x，8﹣2x），

|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，

直角梯形CEDF的面積為

S（x）= x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），

求導得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，

令S′（x）=0，解得x= 或x=﹣2（不合題意，舍去）；

當x∈（0， ）時，S（x）單調遞增，

x∈（ ，2）時，S（x）單調遞減，

∴x= 時，S（x）取得最大值是

S（ ）=﹣ ﹣ +8× = ；

∴科技園區面積S的最大值為 ．

【解析】（1）以AC所在的直線為y軸，A為坐標原點建立平面直角坐標系，求出曲邊AB所在的拋物線方程，利用積分計算曲邊三角形ABC地塊的面積；（2）設出點D為（x，x2），表示出|DF|、|DE|與|CF|的長，求出直角梯形CEDF的面積表達式，利用導數求出它的最大值即可．
【考點精析】利用扇形面積公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．