Question

（本題滿分15分）設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足”
（I）證明：函數是集合M中的元素；
（II）證明：函數具有下面的性質：對于任意，都存在，使得等式成立。 
（III）若集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質證明：對集合M中的任一元素，方程只有一個實數根。

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ) 見解析 （Ⅲ）見解析

（I）證明：因為，又因為當x=0時，，所以方程有實數根0。
所以函數是集合M中的元素。       ………………4分
（II）證明：，
[m，n] 。
又，。
也就是；
………………9分
（III）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根不妨設，根據題意存在數
使得等式成立。
因為
與已知矛盾，所以方程只有一個實數根。……15分