Question

【題目】已知橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點M(0，2)是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形．

(1)求橢圓的方程；

(2)過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝8，證明：直線AB過定點.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得，則橢圓的方程為;

(2)分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況即可證得直線AB過定點.

試題解析：

(1)因為b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，

故橢圓的方程為＋＝1.

(2)證明：①若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝kx＋m，

A點坐標為(x1，y1)，B點坐標為(x2，y2)，聯立方程得，

消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

則x1＋x2＝－，x1x2＝.

由題知k1＋k2＝＋＝8，

所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8.

所以k－＝4，整理得m＝k－2.

故直線AB的方程為y＝kx＋k－2，即y＝k－2。

所以直線AB過定點.

②若直線AB的斜率不存在，設直線AB的方程為x＝x0，A(x0，y0)，

B(x0，－y0)，則由題知＋＝8，

得x0＝－.此時直線AB的方程為x＝－，

顯然直線AB過點.

綜上可知，直線AB過定點.