Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線與直線相切，求實數的值；

（2）記，求在上的最大值；

（3）當時，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時， ；當時， ；（3）.

【解析】試題分析：（1）研究函數的切線主要是利用切點作為突破口求解；（2）通過討論函數在定義域內的單調性確定最值，要注意對字母m的討論；（3）比較兩個函數的大小主要是轉化為判斷兩個函數的差函數的符號，然后轉化為研究差函數的單調性研究其最值．

試題解析：（1）設曲線與相切于點，

由，知，解得，

又可求得點為，所以代入，得.

（2）因為，所以.

①當，即時， ，此時在上單調遞增，

所以；

②當即，當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增， .

（i）當，即時， ；

（ii）當，即時， ；

③當，即時， ，此時在上單調遞減，

所以.

綜上，當時， ；

當時， .

（3）當時， ，

①當時，顯然；

②當時， ，

記函數，

則，可知在上單調遞增，又由知， 在上有唯一實根，且，則，即（*），

當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，

所以，

結合（*）式，知，

所以，

則，即，所以.

綜上， .