Question

已知橢圓的左右焦點分別是，直線與橢圓交于兩點且當時，M是橢圓的上頂點，且△的周長為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的左頂點為A，直線與直線：

分別相交于點，問當變化時，以線段為直徑的圓

被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，

說明理由.

Answer 1

解：（1）當時，直線的傾斜角為，所以：…………3分

解得：， …………………………………………………………5分

所以橢圓方程是：；…………………………………………………………6分

（1）     當時，（2） 直線的方程為：，（3）   此時，（4）    點的坐標（5）  分別是，（6）     又點坐標（7） 是，（8）  由圖可以得到兩點坐標（9）    分別是，（10）    以為直徑的圓過右焦點，（11）      被軸截得的弦長為6，（12）   猜測當變化時，（13）     以為直徑的圓恒過焦點，（14）    被軸截得的弦長為定值6，（15）   ………………………………………………………………8分

證明如下：

設點點的坐標分別是，則直線的方程是：，

所以點的坐標是，同理，點的坐標是，…………………9分

由方程組得到：，

所以：，……………………………………………11分

從而：

=0，

所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6.……………13分