Question

已知橢圓的左右焦點分別是F₁，F₂，過右焦點F₂且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點．
（1）若k=1，求|AB|的長度、△ABF₁的周長；
（2）若，求k的值．

Answer 1

解：（1）橢圓中a=2，∴△ABF₁的周長4a=8，
由聯立得7x²-8x-8=0
∴
（2）設直線方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵，∴1-x₁=2（x₂-1）--③
由①③得，
代入②，∴
分析：（1）利用橢圓的定義，可求△ABF₁的周長，直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理可求|AB|的長度；
（2）設直線方程為y=k（x-1）代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可求k的值．
點評：本題考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．