Question

（2012年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無效)

函數.定義數列如下:是過兩點的直線與軸交點的橫坐標.

(1)證明:;

(2)求數列的通項公式.

Answer 1

【命題意圖】本試題主要考查了數列的通項公式以及函數與數列相結全的綜合運用.先從函數入手,表示直線方程,從而得到交點坐標,再運用數學歸納法進行證明,根據遞推公式構造等比數列進而求得數列的通項.

解:(1)為,故點在函數的圖像上,故由所給出的兩點,可知,直線斜率一定存在.故有

直線的直線方程為,令,可求得

 

所以

下面用數學歸納法證明

當時,,滿足

假設時,成立,則當時,,

由即也成立

綜上可知對任意正整數恒成立.

下面證明

由

由,故有即

綜上可知恒成立.

(2)由得到該數列的一個特征方程即,解得或

    ①     ②

兩式相除可得,而

故數列是以為首項以為公比的等比數列

,故.

法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ證Ⅰ):(Ⅱ) 的方程為,令得

(不動點法) 令,得函數的不動點.

 

 

上兩式相除得.可見數列是等比數列,其中公比,首項為

. 即為所求.

(Ⅰ)①由上知(當時).

②又(當時).

③易見,數列單調遞減,所以數列單調遞增,即

.

綜合①②③得:.

【點評】以函數為背景,引出點的坐標,并通過直線與坐標軸的交點得到數列的遞推公式.既考查了直線方程,又考查了函數解析式,以及不等式的證明,試題比較綜合,有一定的難度.做這類試題那就是根據已知條件,一步一步的翻譯為代數式,化簡得到要找的關系式即可.