Question

【題目】函數（），滿足，且在時恒成立.

（1）求、的值；

（2）若，解不等式；

（3）是否存在實數，使函數在區間上有最小值？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時,原不等式的解集為,

當時,原不等式的解集為空集,

當時,原不等式的解集為,

（3）存在，或.

【解析】

(1)由,得,再由在上恒成立得判別式小于等于0可得;

(2)由(1)得,從而化不等式為,再討論可得;

(3),假設存在實數,使函數在區間上有最小值,從而討論函數單調性確定最小值,從而解得.

(1)由,得,

因為在上恒成立,即在上恒成立,

所以且,

所以,

所以,

所以,

所以.

(2)由(1)得,

因為,

所以,

由得,

所以,

所以,當時,不等式的解為,

當時,不等式無解;

當時, 不等式的解為,

綜上所述:當時,原不等式的解集為;

當時,原不等式的解集為空集;

當時,原不等式的解集為.

(3)因為,

所以的圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為直線,

假設存在實數,使函數在區間上有最小值,

①當,即時,函數在區間上是增函數,所以,

即,

化簡得:,

所以,

解得或,

因為,所以.

②當,即時,函數的最小值為,

即,

化簡得:,解得或,

因為,所以或都舍去.

③當,即時,在區間上是減函數,

所以的最小值為,

即,

化簡得:,

解得或,

因為,所以.

綜上,存在實數,當或時, 函數在區間上有最小值.