Question

已知函數f（x）=mx³-x²+nx+13（m、n∈R）．
（1）若函數f（x）在x=-2與x=1時取得極值，求m、n的值；
（2）當m=n=0時，若f（x）在閉區間[a，b]（a＜b）上有最小值4a，最大值4b，求區間[a，b]．

Answer 1

分析：（1）先求導數f′（x），由題意可知-2和1是方程f′（x）=0的兩根，根據韋達定理列方程組解出即可；
（2）當m=n=0時，f（x）=-x²+13為二次函數，按區間與對稱軸的位置關系分三種情況討論即可：①若a＜b≤0，②若0≤a＜b，③若a＜0＜b，注意檢驗；

解答：解（1）f′（x）=3mx²-2x+n，由題意知-2和1是方程f′（x）=0的兩根，所以-2+1=

2

3m

，-2×1=

n

3m

，解得m=-

2

3

，n=4．
（2）當m=n=0時，f（x）=-x²+13．
①若a＜b≤0，因為f（x）在[a，b]上單調遞增，所以f（a）=4a，f（b）=4b，即

-a2+13=4a -b2+13=4b

，
所以a，b是方程x²+4x-13=0的兩個不等實根，但此方程兩根異號，與a＜b≤0矛盾，此時無解；
②若0≤a＜b，f（x）在[a，b]上單調遞減，
所以f（a）=4b，f（b）=4a，即

-a2+13=4b -b2+13=4a

，解得a=1，b=3，
所以[a，b]=[1，3]；
③若a＜0＜b，f（x）在[a，0]上單調遞增，在[0，b]上單調遞減，
所以f（x）_max=f（0）=13=4b，b=

13

4

，f（b）=f（

13

4

）=-(

13

4

)2+13＞0，
因a＜0，最小值4a＜0，所以f（x）在x=a是取得最小值4a，即-a²+13=4a，解得a=-2-

17

，
此時[a，b]=[-2-

17

，

13

4

]，
綜上所求區間為[1，3]或[-2-

17

，

13

4

]．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件、二次函數在閉區間上的最值問題，考查分類討論思想，屬中檔題．