Question

（2011•廣東三模）已知函數f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在給定的坐標系內，用五點作圖法畫出函數f（x）在一個周期內的圖象．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式將函數化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求其最小正周期，利用函數圖象和性質求其最大值
（2）先將內層函數ωx+φ看作整體，取正弦函數的五個關鍵點橫坐標值，列出函數取值表，再依表描點，用平滑的曲線將其連接即可得函數f（x）在一個周期內的圖象

解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=

2

（sin2xcos

π

4

-sin

π

4

cosx）
=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

 （k∈Z）時，f（x）取得最大值為

2

．
∴函數f（x）的最小正周期為π；最大值為

2

（2）列表：

函數f（x）在一個周期內的圖象如圖：

點評：本題考察了將三角函數式通過三角變換公式化為y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角函數的圖象和性質，五點法作y=Asin（ωx+φ）型函數圖象的步驟