Question

【題目】設函數f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞ ﹣e1﹣x在區間（1，+∞）內恒成立（e=2.718…為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，f′（x）=2ax﹣ = ，x＞0，

①當a≤0時，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減．

②當a＞0時，f′（x）= ，當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，

當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，

故f（x）在（0， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增

（2）

解：原不等式等價于f（x）﹣ +e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，

一方面，令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，

只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，

又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1處必大于等于0．

令F（x）=g′（x）=2ax﹣ + ﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a ．

另一方面，當a 時，F′（x）=2a+ ≥1+ = +e1﹣x，

∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a 時恒大于0．

∴當a 時，F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增．

∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）單調遞增．

∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．

綜上，a

【解析】（I）利用導數的運算法則得出f′（x），通過對a分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關系即可判斷出其單調性；
（2）令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，從而g′（1）≥0，解得得a ， 又，當a 時，F′（x）=2a+ ≥ +e1﹣x ， 可得F′（x）在a 時恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）單調遞增，進而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，綜合可得a所有可能取值．
本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，導數在最大值、最小值問題中的應用，考查了計算能力和轉化思想，熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．