Question

設函數f（x）的定義域為（0，+∞）且對任意正實數x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1時f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明；
（3）一個各項均為正數的數列{a_n}滿足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是數列{a_n}的前n項和，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法求值．
（2）利用單調性的定義證明函數的單調性；注意應用抽象函數的相關性質．
（3）先得出和與通項的關系S_n=

an(an+1)

2

，（n∈N^*），得出S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2，兩式相減，得出數列遞推式，再去變形，求通項公式．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

）
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取兩數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令

x2

x1

=k，則f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．（8分）
（3）f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*）
=f（a_n）+f（a_n+1）+f（

1

2

）
=f[

an(an+1)

2

]，
由于f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，
∴S_n=

an(an+1)

2

，n∈N^*）
∴S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2
兩式相減，有

a 2 n - a 2 n-1 +an-an-1

2

=a_n，
整理得（a_n+a_n-1）（a _n-a _n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a _n-a _n-1-1=0，a _n-a _n-1=1，n≥2
所以數列{a_n}是公差為1的等差數列，
當n=1時，a₁=S₁=

a1(a1+1)

2

，a₁=1
∴a_n=n        （14分）

點評：本題考查抽象函數的單調性，考查數列與函數的綜合，考查單調性的證明，考查數列通項的求解，正確理解題意是關鍵．