Question

【題目】如圖，已知五棱錐P－ABCDE，其中ABE，PCD均為正三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，BE＝2BC＝2CD＝2DE＝4，PB＝PE＝．

（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面ABCDE；

（Ⅱ）若線段AP上存在一點M，使得三棱錐P－BEM的體積為五棱錐P－ABCDE體積的，求AM的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明略；（Ⅱ）AM＝．

【解析】

（1）取CD中點O，根據正三角形性質得,再取BE中點N,根據勾股定理計算得,由線面垂直判定定理得平面,最后根據面面垂直判定定理得結論，（2）先作M到平面的垂線，再根據錐體體積公式計算AM的長．

(1)取CD中點O，BE中點N,連PN,ON.

因為PCD為正三角形，所以，，

因為PB＝PE＝BE＝4，所以，

因為四邊形BCDE為等腰梯形，所以，

因為,所以，

因為平面,所以平面,

因為平面，因此平面 平面,

（2）因為ABE為正三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，所以三點共線，

過M作 于,則,

因為平面,所以平面,

因為三棱錐P－BEM的體積為五棱錐P－ABCDE體積的，

所以

從而