Question

已知函數f（x）=ax⁴+bx²+cx+1（a，b，c∈R），在x=-1處取得極值-

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，在x=-2處的切線與直線x-8y=0垂直．
（1）求常數a，b，c的值；
（2）對于函數h（x）和g（x），若存在常數k，m，對于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數h（x），g（x）的分界線，求函數f（x）與函數g（x）=-x²+2x+1的“分界線”方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導函數，然后根據x=-1處取得極值-

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建立兩個等式，再由在x=-2的導數與直線x-8y=0的斜率乘積為-1建立一等式，解三元一次方程組即可；
（2）由于對于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，可賦值令x=0求出m，然后轉化成兩個二次不等式恒成立即可求出k的值．

解答：解：（1）f'（x）=4ax³+2bx+c，
由條件得到：

-4a-2b+c=0 a+b-c+1=- 1 4 -32a-4b+c=-8

，
得到：

a= 1 4 b= 1 2 c=2

（6分）
（2）依題意

1

4

x4+

1

2

x2+2x+1≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立，
令x=0，則1≥m≥1，所以m=1，（8分）
因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，（10分）
又因為：f(x)-(2x+1)=

1

4

x4+

1

2

x2≥0，所以f（x）≥2x+1恒成立，
所以：函數f（x）與函數g（x）=-x²+2x+1的分界線方程是y=2x+1．（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及恒成立等基礎知識，屬于中檔題．