Question

對于一般的三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a≠0）定義：設f''（x）是函數y=f（x）的導函數y=f'（x）的導數．若f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”，現已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），請解答下列問題：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函數，求證a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的條件下，求函數y=g（x）的“拐點”A的坐標，并證明函數y=g（x）的圖象關于“拐點”A成中心對稱．

Answer 1

分析：（I）先求出函數g（x）的導函數，然后根據y=g（x）是R上的增函數得g'（x）≥0在R上恒成立，再根據二次函數恒大于等于零建立不等關系可求出a、b、c的關系；
（II）先求出函數g（x）的二階導數，令g''（x）=0，求出拐點A的坐標，設函數y=g（x）圖象上任意一點（x，y）則關于（a，0）的對稱點為（2a-x，-y），證明點（2a-x，-y）也在函數y=g（x）圖象上，從而證得結論．

解答：解：（I）∵g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），
∴g'（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）
=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac，
∵y=g（x）是R上的增函數，
∴g'（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4（a+b+c）²-12（ab+bc+ac）≤0
則2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ac）≤0即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0
∴a=b=c；
（II）由（I）得y=g（x）=（x-a）³
g'（x）=3（x-a）²，g''（x）=6（x-a）=0
解得x=a
∴函數y=g（x）的“拐點”A的坐標為（a，0）
設函數y=g（x）圖象上任意一點（x，y）則關于（a，0）的對稱點為（2a-x，-y）
根據g（2a-x）=（a-x）³=-g（x）可知點（2a-x，-y）也在函數y=g（x）圖象上
∴函數y=g（x）的圖象關于“拐點”A（a，0）成中心對稱．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及恒成立問題的應用，同時考查了圖形的對稱問題，屬于中檔題．