Question

若數列滿足，其中為常數，則稱數列為等方差數列，已知等方差數列滿足，.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）記，則當實數大于4時，不等式能否對于一切的恒成立？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）當時，不等式對于一切的恒成立  .

【解析】本試題主要考查了數列的概念和靈活運用新的定義，解決數列的通項公式和求和問題，以及不等式的恒成立問題的綜合運用

（1）利用新定義可得由，得，，∴

（2）中結合上一問的結論得到，然后利用錯位相減法得到求和

（3），不等式恒成立，

即對于一切的恒成立。

∴

分離參數的思想求解k的取值范圍。

解：（Ⅰ）由，得，，∴

，

∵，∴

數列的通項公式為； 

（Ⅱ）

設  ①

 ②

①－②，得

∴

∴

即數列的前項和為 

（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，

即對于一切的恒成立。

設，當時，由于對稱軸，且

而函數在是增函數，∴不等式恒成立，

即當時，不等式對于一切的恒成立  

解法2：，不等式恒成立，即對于一切的恒成立。

∴

∵，∴．而

∴恒成立．

故當時，不等式對于一切的恒成立．