Question

數列{a_n}滿足an+1=

4an-2

an+1

，其中n∈N，首項為a₀．
（Ⅰ）若數列{a_n}是一個無窮的常數列，試求a₀的值；
（Ⅱ）若a₀=4，試求滿足不等式an≤

146

65

的自然數n的集合；
（Ⅲ）若存在a₀，使數列{a_n}滿足：對任意正整數n，均有a_n＜a_n+1，試求a₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知 即對于任意自然數n，均有a_n+1=a_n則得到a_n²-3a_n+2=0，解方程即得項值．
（Ⅱ）由已知，構造出  

an+1-1

an+1-2

=

3

2

an-1

an-2

，得出{

an-1

an-2

}是以首項為

3

2

，公比為

3

2

，

an-1

an-2

=(

3

2

)n+1(n∈N)，至此  an≤

146

65

易解． 
（Ⅲ）a₀ 使數列{a_n}是遞增數列，轉化為研究數列{a_n}的單調性，不等式恒成立問題．

解答：解：（Ⅰ）常數列即數列{a_n}的每一項均為一相同的常數
即a_n+1=a_n則得到a_n²-3a_n+2=0解得a_n=1或a_n=2即a₀=1或a₀=2
（Ⅱ）由不動點思想可得

即an+1-1= 3an-3 an+1 an+1-2= 2an-4 an+1

兩式相除即得到

an+1-1

an+1-2

=

3

2

an-1

an-2

由a₀=4可得數列{

an-1

an-2

}是以首項為

3

2

，公比為

3

2

的等比數列，∴

an-1

an-2

=(

3

2

)n+1(n∈N）
令t=(

3

2

)n+1（t＞1），則a_n=

1-2t

1+t

≤

146

65

解得t≥

81

16

=(

3

2

)4，
∴n+1≥4，n≥3，自然數n的集合為{n|n≥3，n∉N} 
（Ⅲ）令a₀=λ則得到

an-1

an-2

=

λ-1

λ-2

(

3

2

)n⇒an=2+

1

λ-1 λ-2 ( 3 2 )n-1

若滿足題意，即數列{a_n}是遞增數列
令g（n）=

λ-1

λ-2

(

3

2

)n-1則函數g（n）應為遞減函數

即g′(n)=[( 3 2 )nln 3 2 ] λ-1 λ-2 在n∈N恒小于0 由( 3 2 )nln 3 2 ＞0得不等式即為 λ-1 λ-2 ＜0 即(λ-1)(λ-2)＜0→λ∈(1，2) 綜上a0∈(1，2)

點評：本題考查等比數列判定、通項公式，分數不等式、指數運算，不等式恒成立問題．考查分析解決問題、變形構造、計算等能力．